Formuła 2023
Dana jest nierówność
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest równa
2242^{24}2242^{24}
2162^{16}2162^{16}
2122^{12}2122^{12}
282^8282^8
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba przy dzieleniu przez daje resztę .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
2222
3333
4444
9999
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia
jest równa wartości wyrażenia
8a28a^28a28a^2
8ab8ab8ab8ab
−8ab-8ab−8ab-8ab
2b22b^22b22b^2
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,−23)\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)(−∞,−32)\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)
(−∞,23)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)(−∞,32)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)
(−23,+∞)\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)(−32,+∞)\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)
(23,+∞)\left(\frac{2}{3},+\infty\right)(32,+∞)\left(\frac{2}{3},+\infty\right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie
w zbiorze liczb rzeczywistych
nie ma rozwiązania
ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1)(-1)(−1)(-1)
ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2)(-2)(−2)(-2) oraz 3333
ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1)(-1)(−1)(-1), (−2)(-2)(−2)(-2) oraz 3333
Równania wymierne
Dany jest wielomian
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Wielomian jest iloczynem wielomianów i
P
F
Liczba jest rozwiązaniem równania
P,P
P,F
F,P
F,F
Pierwiastki wielomianu – sprawdzanie i wyznaczanie parametru
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło drzew w pierwszym sadzie i drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.Niech i oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
{x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,6\cdot0,95x=0,9y\end{cases}{x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,6\cdot0,95x=0,9y\end{cases}
{x+y=19600,95x=0,6⋅0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,95x=0,6\cdot0,9y\end{cases}{x+y=19600,95x=0,6⋅0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,95x=0,6\cdot0,9y\end{cases}
{x+y=19600,05x=0,6⋅0,1y\begin{cases}x+y=1960\\0,05x=0,6\cdot0,1y\end{cases}{x+y=19600,05x=0,6⋅0,1y\begin{cases}x+y=1960\\0,05x=0,6\cdot0,1y\end{cases}
{x+y=19600,4⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,4\cdot0,95x=0,9y\end{cases}{x+y=19600,4⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,4\cdot0,95x=0,9y\end{cases}
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
{y=−32x+3y=−32x−1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}{y=−23x+3y=−23x−1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}
{y=32x+3y=−23x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}{y=23x+3y=−32x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}
{y=32x+3y=32x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}{y=23x+3y=23x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}
{y=−32x−3y=32x+1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}{y=−23x−3y=23x+1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie . Funkcja jest malejąca dla każdej liczby należącej do przedziału
(−∞,1)(-\infty,1)(−∞,1)(-\infty,1)
(−∞,−32)\displaystyle\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)(−∞,−23)\displaystyle\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)
(1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞)(1,+\infty)
(32,+∞)\displaystyle\left(\frac{3}{2},+\infty\right)(23,+∞)\displaystyle\left(\frac{3}{2},+\infty\right)
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcje liniowe oraz , określone wzorami oraz , mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik we wzorze funkcji jest równy
(−72)\displaystyle\left(-\frac{7}{2}\right)(−27)\displaystyle\left(-\frac{7}{2}\right)
(−27)\displaystyle\left(-\frac{2}{7}\right)(−72)\displaystyle\left(-\frac{2}{7}\right)
27\displaystyle\frac{2}{7}72\displaystyle\frac{2}{7}
72\displaystyle\frac{7}{2}27\displaystyle\frac{7}{2}
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem
f(x)=−(x+1)2−9f(x)=-(x+1)^2-9f(x)=−(x+1)2−9f(x)=-(x+1)^2-9
f(x)=−(x−1)2+9f(x)=-(x-1)^2+9f(x)=−(x−1)2+9f(x)=-(x-1)^2+9
f(x)=−(x−1)2−9f(x)=-(x-1)^2-9f(x)=−(x−1)2−9f(x)=-(x-1)^2-9
f(x)=−(x+1)2+9f(x)=-(x+1)^2+9f(x)=−(x+1)2+9f(x)=-(x+1)^2+9
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Dla funkcji prawdziwa jest równość
f(−4)=f(6)f(-4)=f(6)f(−4)=f(6)f(-4)=f(6)
f(−4)=f(5)f(-4)=f(5)f(−4)=f(5)f(-4)=f(5)
f(−4)=f(4)f(-4)=f(4)f(−4)=f(4)f(-4)=f(4)
f(−4)=f(7)f(-4)=f(7)f(−4)=f(7)f(-4)=f(7)
Funkcje kwadratowe oraz są określone za pomocą funkcji następująco:
Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych , fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji oraz fragment wykresu funkcji .
Uzupełnij tabelę:
Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku
Fragment wykresy funkcji przedstawiono na rysunku
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Ciąg jest określony wzorem
dla każdej liczby naturalnej .
Pierwszy wyraz ciągu jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny.Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.Ten ciąg jest:
A. rosnący
B. malejący
oraz:
1.
2.
3.
A,1
A,2
A,3
B,1
B,2
B,3
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa . Oblicz różnicę tego ciągu.
Suma ciągu arytmetycznego
W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt o mierze taki, że oraz (zobacz rysunek).
Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.
sinα<0\sin \alpha<0sinα<0\sin \alpha<0
sinα⋅cosα<0\sin\alpha \cdot \cos\alpha<0sinα⋅cosα<0\sin\alpha \cdot \cos\alpha<0
sinα⋅cosα>0\sin\alpha\cdot \cos\alpha>0sinα⋅cosα>0\sin\alpha\cdot \cos\alpha>0
cosα>0\cos\alpha>0cosα>0\cos\alpha>0
sinα=−13cosα\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha sinα=−31cosα\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha
sinα=−3cosα\sin\alpha=-3\cos\alphasinα=−3cosα\sin\alpha=-3\cos\alpha
Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
cos20∘\cos20^\circcos20∘\cos20^\circ
sin20∘\sin20^\circsin20∘\sin20^\circ
tg20∘\tg20^\circtg20∘\tg20^\circ
sin20∘⋅cos20∘\sin20^\circ\cdot \cos20^\circsin20∘⋅cos20∘\sin20^\circ\cdot \cos20^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt , w którym , oraz . Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie takim, że , oraz (zobacz rysunek).
W trójkącie prawdziwa jest równość
a⋅b=c⋅da\cdot b=c\cdot da⋅b=c⋅da\cdot b=c\cdot d
a⋅d=b⋅ca\cdot d=b\cdot ca⋅d=b⋅ca\cdot d=b\cdot c
a⋅c=b⋅da\cdot c=b\cdot da⋅c=b⋅da\cdot c=b\cdot d
a⋅b=e⋅ea\cdot b=e\cdot ea⋅b=e⋅ea\cdot b=e\cdot e
Twierdzenie o dwusiecznej w trójkącie
Dany jest równoległobok o bokach długości i oraz o kącie między nimi o mierze . Pole tego równoległoboku jest równe
12121212
12312\sqrt{3}12312\sqrt{3}
6666
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
Równoległobok
W trójkącie , wpisanym w okrąg o środku w punkcie , kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
42∘42^\circ42∘42^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
48∘48^\circ48∘48^\circ
69∘69^\circ69∘69^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste i są określone równaniami
Proste oraz są prostopadłe, gdy liczba jest równa
(−12)\left(-\frac{1}{2}\right)(−21)\left(-\frac{1}{2}\right)
12\frac{1}{2}21\frac{1}{2}
(−3)(-3)(−3)(-3)
1111
Proste prostopadłe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok , w którym oraz . Przekątne oraz tego równoległoboku przecinają się w punkcie . Oblicz długość boku tego równoległoboku.
Równoległobok w układzie współrzędnych
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe .
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
361036\sqrt{10}361036\sqrt{10}
60606060
6106\sqrt{10}6106\sqrt{10}
360360360360
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Ostrosłup jest podobny do ostrosłupa . Objętość ostrosłupa jest równa .
Objętość ostrosłupa jest równa .Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa .
Podobieństwo brył (stosunki pól i objętości)
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr , przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.Liczba wszystkich takich kodów jest równa
10101010
24242424
16161616
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Średnia arytmetyczna trzech liczb: jest równa .
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: jest równa
4,54{,}54,54{,}5
18181818
Średnia arytmetyczna / ważona
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
3,53{,}53,53{,}5
Mediana
Dany jest pięcioelementowy zbiór . Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.
Oblicz wymiary oraz jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
