(nowa formuła)
Równość jest prawdziwa, gdy
a=−2a=-2a=−2a=-2
a=−1a=-1a=−1a=-1
a=1a=1a=1a=1
a=2a=2a=2a=2
Równania wymierne
Liczba jest równa
−214-2^{14}−214-2^{14}
28−2142^{8}-2^{14}28−2142^{8}-2^{14}
2−2142-2^{14}2−2142-2^{14}
−214−2⋅27+2-2^{14}-2 \cdot 2^{7}+2−214−2⋅27+2-2^{14}-2 \cdot 2^{7}+2
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
2222
4444
32323232
16161616
Definicja logarytmu
Masę Słońca równą przybliżono do . Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy
0,0011⋅1030 kg0{,}0011\cdot 10^{30}\ \text{kg}0,0011⋅1030 kg0{,}0011\cdot 10^{30}\ \text{kg}
1,1⋅1030 kg1{,}1 \cdot 10^{30}\ \text{kg}1,1⋅1030 kg1{,}1 \cdot 10^{30}\ \text{kg}
0,11⋅1030 kg0{,}11 \cdot 10^{30}\ \text{kg}0,11⋅1030 kg0{,}11 \cdot 10^{30}\ \text{kg}
0,011⋅1030 kg0{,}011 \cdot 10^{30}\ \text{kg}0,011⋅1030 kg0{,}011 \cdot 10^{30}\ \text{kg}
Błąd bezwzględny i błąd względny
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest
−3-3−3-3
−2-2−2-2
3333
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie w zbiorze liczb całkowitych
nie ma żadnego rozwiązania.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma więcej niż dwa rozwiązania.
Boki trójkąta są zawarte w prostych o równaniach i oraz osi układu współrzędnych (zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe
10101010
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
5555
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
Trójkąt w układzie współrzędnych
Punkt leży na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem . Zatem
m=16\displaystyle m= \frac{1}{6} m=61\displaystyle m= \frac{1}{6}
m=−16\displaystyle m= -\frac{1}{6} m=−61\displaystyle m= -\frac{1}{6}
m=56\displaystyle m= \frac{5}{6} m=65\displaystyle m= \frac{5}{6}
m=−56\displaystyle m= -\frac{5}{6} m=−65\displaystyle m= -\frac{5}{6}
Równanie prostej - zadania z parametrem
Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem jest parabola o wierzchołku w punkcie . Liczba jest równa
7777
9999
13131313
Wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej
Funkcja każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez . Zbiorem wartości funkcji jest
{0,1,2,3}\left\{0,1,2,3\right\}{0,1,2,3}\left\{0,1,2,3\right\}
{1,2,3,4}\left\{1,2,3,4\right\}{1,2,3,4}\left\{1,2,3,4\right\}
{0,1,2,3,4}\left\{0,1,2,3,4\right\}{0,1,2,3,4}\left\{0,1,2,3,4\right\}
{0,2}\left\{0,2\right\}{0,2}\left\{0,2\right\}
Odczytywanie własności funkcji z jej opisu słownego
Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem .
Stąd wynika, że
{a<0b<0\displaystyle \begin{cases} a<0\\ b<0 \end{cases}{a<0b<0\displaystyle \begin{cases} a<0\\ b<0 \end{cases}
{a<0b>0\displaystyle \begin{cases} a<0\\ b>0 \end{cases}{a<0b>0\displaystyle \begin{cases} a<0\\ b>0 \end{cases}
{a>0b<0\displaystyle \begin{cases} a>0\\ b<0 \end{cases}{a>0b<0\displaystyle \begin{cases} a>0\\ b<0 \end{cases}
{a>0b>0\displaystyle \begin{cases} a>0\\ b>0 \end{cases}{a>0b>0\displaystyle \begin{cases} a>0\\ b>0 \end{cases}
Znaczenie współczynników funkcji kwadratowej
Proste o równaniach oraz są prostopadłe. Wtedy
m=−54\displaystyle m= -\frac{5}{4} m=−45\displaystyle m= -\frac{5}{4}
m=23\displaystyle m= \frac{2}{3} m=32\displaystyle m= \frac{2}{3}
m=114\displaystyle m= \frac{11}4{} m=411\displaystyle m= \frac{11}4{}
m=103\displaystyle m= \frac{10}{3} m=310\displaystyle m= \frac{10}{3}
Proste prostopadłe
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Czwarty wyraz tego ciągu jest równy . Suma jest równa
505505505505
1010101010101010
2020202020202020
4040404040404040
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej oraz i . Wynika stąd, że
a7>0a_7>0a7>0a_7>0
a7<0a_7<0a7<0a_7<0
a7>a6a_7>a_6a7>a6a_7>a_6
a7>a8a_7>a_8a7>a8a_7>a_8
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego . W tym trójkącie kąt przy wierzchołku jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych
(43,−10)\left(43,-10\right)(43,−10)\left(43,-10\right)
(37,10)\left(37,10\right)(37,10)\left(37,10\right)
(43,10)\left(43,10\right)(43,10)\left(43,10\right)
(37,−10)\left(37,-10\right)(37,−10)\left(37,-10\right)
Trójkąt prostokątny w układzie współrzędnych
W trapezie prostokątnym są dane długości boków: , , , (zobacz rysunek).
Tangens kąta ostrego w tym trapezie jest równy
43\displaystyle \frac{4}{3} 34\displaystyle \frac{4}{3}
45\displaystyle \frac{4}5{} 54\displaystyle \frac{4}5{}
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
35\displaystyle \frac{3}{5} 53\displaystyle \frac{3}{5}
Trapez prostokątny
Punkty i są końcami przekątnej kwadratu . Obwód tego kwadratu jest równy
12121212
20202020
28282828
48484848
Kwadrat w układzie współrzędnych
Pole trójkąta równoramiennego jest równe . Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa . Każde z ramion tego trójkąta ma długość
10210\sqrt{2}10210\sqrt{2}
52\displaystyle 5\sqrt{2}52\displaystyle 5\sqrt{2}
Trójkąt równoramienny
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym przyprostokątna ma długość , a przyprostokątna ma długość . Miara kąta spełnia warunek
19∘<β<21∘19^\circ <\beta<21^\circ 19∘<β<21∘19^\circ <\beta<21^\circ
21∘<β<23∘21^\circ <\beta<23^\circ 21∘<β<23∘21^\circ <\beta<23^\circ
67∘<β<69∘67^\circ <\beta<69^\circ 67∘<β<69∘67^\circ <\beta<69^\circ
69∘<β<71∘69^\circ <\beta<71^\circ 69∘<β<71∘69^\circ <\beta<71^\circ
Odczytywanie miary kąta ostrego z tablic trygonometrycznych (na podstawie wartości funkcji)
Tworząca stożka jest o dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy
2π 2\pi2π 2\pi
1111
π\piπ\pi
Stożek
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa . Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
18181818
36363636
6666
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku . Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
424\sqrt{2 }424\sqrt{2 }
64\displaystyle \frac{\sqrt{6}}4{} 46\displaystyle \frac{\sqrt{6}}4{}
262\sqrt{6}262\sqrt{6}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od , a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od , jest
4⋅4⋅5⋅54 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 54⋅4⋅5⋅54 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5
5⋅4⋅6⋅55 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 55⋅4⋅6⋅55 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 5
5⋅5⋅6⋅65 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 65⋅5⋅6⋅65 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6
4⋅3⋅5⋅44 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 44⋅3⋅5⋅44 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: , jest liczba
Wariancja / odchylenie standardowe
W urnie jest kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
49\displaystyle \frac{4}{9} 94\displaystyle \frac{4}{9}
59\displaystyle \frac{5}{9 } 95\displaystyle \frac{5}{9 }
69\displaystyle \frac{6}{9} 96\displaystyle \frac{6}{9}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Dane są liczby i . Wartością jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste i spełniają warunek i , to .
Dowodzenie nierówności
Bok jest średnicą, a punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie . Punkt leży na tym okręgu, a odcinek zawarty jest w symetralnej boku trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta .
Dowodzenie w planimetrii
Dany jest trzywyrazowy ciąg . Oblicz te wszystkie wartości , dla których ten ciąg jest geometryczny.
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Prosta jest nachylona do osi pod kątem ostrym , takim, że . Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej .
Kąt nachylenia prostej do osi OXOXOXOX
Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Pozostałe wielokąty w układzie współrzędnych
Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia , polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym , którego krawędź podstawy ma długość (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
