(stara formuła)
Liczba jest równa
53\sqrt{5^3}53\sqrt{5^3}
153\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5^3}} 531\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5^3}}
523\sqrt[3]{5^2}352\sqrt[3]{5^2}
1523\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}} 3521\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Przy procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa ł. Jaka jest cena netto tego samochodu?
36 663,86 zł36\ 663{,}86\ \text{zł}36 663,86 zł36\ 663{,}86\ \text{zł}
36 600 zł36\ 600\ \text{zł}36 600 zł36\ 600\ \text{zł}
44 995 zł44\ 995\ \text{zł}44 995 zł44\ 995\ \text{zł}
55 372,14 zł55\ 372{,}14\ \text{zł}55 372,14 zł55\ 372{,}14\ \text{zł}
Podatki (VAT, cena brutto / netto)
Wskaż nierówność, która opisuje zaznaczony na osi liczbowej przedział otwarty .
∣x−1∣<3|x-1|<3∣x−1∣<3|x-1|<3
∣x+3∣<1|x+3|<1∣x+3∣<1|x+3|<1
∣x+1∣<3|x+1|<3∣x+1∣<3|x+1|<3
∣x−3∣<1|x-3|<1∣x−3∣<1|x-3|<1
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest podzielna przez dla
m=−8m=-8m=−8m=-8
m=−2m=-2m=−2m=-2
m=2m=2m=2m=2
m=8m=8m=8m=8
Wzory skróconego mnożenia: potęga trzeciego stopnia
Dla równanie
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dwa różne rozwiązania.
ma trzy różne rozwiązania.
Równania wymierne
Równanie
nie ma rozwiązań rzeczywistych.
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.
ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.
Równanie kwadratowe - postać ogólna
Do dziedziny funkcji określonej wzorem nie mogą należeć liczby
x=−4x=-4x=−4x=-4 i x=0x=0x=0x=0
x=−4x=-4x=−4x=-4 i x=1x=1x=1x=1
x=0x=0x=0x=0 i x=1x=1x=1x=1
x=−1x=-1x=−1x=-1 i x=1x=1x=1x=1
Określanie własności funkcji ze wzoru (bez wykresu)
Wyrażenie , określone dla i , jest równe
x2−x+1x2−x\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2-x} x2−xx2−x+1\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2-x}
x2−x−1x2−x\displaystyle \frac{x^2-x-1}{x^2-x} x2−xx2−x−1\displaystyle \frac{x^2-x-1}{x^2-x}
x−1x2−x\displaystyle \frac{x-1}{x^2-x} x2−xx−1\displaystyle \frac{x-1}{x^2-x}
x2−x−1x−1\displaystyle \frac{x^2-x-1}{x-1} x−1x2−x−1\displaystyle \frac{x^2-x-1}{x-1}
Wyrażenia wymierne
8888
6666
4444
3,53{,}53,53{,}5
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej jest
−4-4−4-4
−2-2−2-2
0000
Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji liniowej .
Funkcja liniowa , której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji względem poziomej osi układu współrzędnych, jest określona wzorem
g(x)=−2x−2g(x)=-2x-2g(x)=−2x−2g(x)=-2x-2
g(x)=2x−2g(x)=2x-2g(x)=2x−2g(x)=2x-2
g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2
g(x)=2x+2g(x)=2x+2g(x)=2x+2g(x)=2x+2
Symetrie
Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem , dla . Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
9900990099009900
9950995099509950
10000100001000010000
10050100501005010050
Suma ciągu arytmetycznego
Ciąg jest geometryczny. Stąd wynika, że
x=−8x=-8x=−8x=-8
x=−1x=-1x=−1x=-1
x=5x=5x=5x=5
x=15x=15x=15x=15
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Kąt α jest najmniejszym z kątów trójkąta prostokątnego o bokach długości . Wtedy
cosα=32\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{3}}{2} cosα=23\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{3}}{2}
cosα=12\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{2} cosα=21\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{2}
cosα=233\displaystyle \cos\alpha= \frac{2\sqrt{3}}{3} cosα=323\displaystyle \cos\alpha= \frac{2\sqrt{3}}{3}
cosα=33\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{3}}{3} cosα=33\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{3}}{3}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Dla każdego kąta , spełniającego warunek , wyrażenie jest równe
cosα\cos\alphacosα\cos\alpha
sinα\sin\alphasinα\sin\alpha
2sinα2\sin\alpha2sinα2\sin\alpha
cos2α\cos^2\alphacos2α\cos^2\alpha
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Bok rombu ma taką samą długość jak przekątna kwadratu. Pole rombu jest równe polu kwadratu. Zatem kąt ostry tego rombu ma miarę
75∘75^\circ 75∘75^\circ
45∘45^\circ 45∘45^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
30∘30^\circ 30∘30^\circ
Romb
Dane są punkty oraz . Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy
6\sqrt{6}6\sqrt{6}
262\sqrt{6}262\sqrt{6}
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
333\sqrt{3}333\sqrt{3}
Trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych
Suma odległości punktu od prostych o równaniach i jest równa
10101010
9999
7777
Długość odcinka i środek odcinka
W trójkącie wpisanym w okrąg o środku w punkcie , miara kąta jest równa (zobacz rysunek).
Miara kąta, jaki bok tworzy z promieniem , jest równa
α=40∘\alpha=40^\circ α=40∘\alpha=40^\circ
α=45∘\alpha=45^\circ α=45∘\alpha=45^\circ
α=50∘\alpha=50^\circ α=50∘\alpha=50^\circ
α=60∘\alpha=60^\circ α=60∘\alpha=60^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dany jest stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt o bokach długości: i . Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego podstawy jest równy
43\displaystyle \frac{4}{3} 34\displaystyle \frac{4}{3}
54\displaystyle \frac{5}{4} 45\displaystyle \frac{5}{4}
53\displaystyle \frac{5}{3} 35\displaystyle \frac{5}{3}
103\displaystyle \frac{10}{3} 310\displaystyle \frac{10}{3}
Stożek
Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą . Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe
16316\sqrt{3}16316\sqrt{3}
32332\sqrt{3}32332\sqrt{3}
48348\sqrt{3}48348\sqrt{3}
64364\sqrt{3}64364\sqrt{3}
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Promień kuli o objętości jest równy
18181818
Kula
Medianą zestawu danych jest liczba . Wtedy może być równe
22 22
3333
5555
Mediana
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy ?
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego cztery jest równe
112\displaystyle \frac{1}{12} 121\displaystyle \frac{1}{12}
118\displaystyle \frac{1}{18} 181\displaystyle \frac{1}{18}
19\displaystyle \frac{1}{9} 91\displaystyle \frac{1}{9}
536\displaystyle \frac{5}{36} 365\displaystyle \frac{5}{36}
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Funkcja kwadratowa, dla przyjmuje wartość największą równą . Do wykresu funkcji należy punkt . Zapisz wzór funkcji kwadratowej .
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Bok czworokąta wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że .
Dowodzenie w planimetrii
W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy . Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa .
Ze zbioru cyfr losujemy kolejno dwie cyfry (losowanie bez zwracania) i tworzymy liczby dwucyfrowe tak, że pierwsza wylosowana cyfra jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby podzielnej przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Dany jest romb o boku długości . Długości przekątnych tego rombu różnią się o . Oblicz pole tego rombu.
Wysokość prostopadłościanu jest równa , a długość przekątnej jest równa sumie długości krawędzi i . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Prostopadłościan
Deweloper oferuje możliwość kompletnego wyposażenia kuchni i salonu w ofercie „Malejące raty”. Wysokość pierwszej raty ustalono na ł. Każda następna rata jest o ł mniejsza od poprzedniej. Całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu ustalono na ł. Oblicz wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat.
