Formuła 2023
Liczba jest równa
25−42\sqrt{5}-425−42\sqrt{5}-4
25+42\sqrt{5}+425+42\sqrt{5}+4
2222
4444
Wartość bezwzględna
5−165^{-16}5−165^{-16}
5−25^{-2}5−25^{-2}
545^4545^4
585^8585^8
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
6666
3633\sqrt[3]{6}3363\sqrt[3]{6}
6336\sqrt[3]{3}6336\sqrt[3]{3}
6636\sqrt[3]{6}6366\sqrt[3]{6}
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
(−12)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Wykaż, że liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
12xy12xy12xy12xy
(−12xy)\left(-12xy\right)(−12xy)\left(-12xy\right)
2y22y^22y22y^2
4y24y^24y24y^2
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,1](-\infty,1](−∞,1](-\infty,1]
(−∞,76]\displaystyle \left(-\infty, \frac{7}{6} \right](−∞,67]\displaystyle \left(-\infty, \frac{7}{6} \right]
[1,+∞)\left[1,+\infty\right)[1,+∞)\left[1,+\infty\right)
[76,+∞)\displaystyle \left[ \frac{7}{6},+\infty \right)[67,+∞)\displaystyle \left[ \frac{7}{6},+\infty \right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Dane jest równanie
gdzie i .
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału .
Równania wymierne
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Suma wszystkich rozwiązań równania jest równa
(−5)\left(-5\right)(−5)\left(-5\right)
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
5555
9999
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Właściciel restauracji kupił kilogramów pomidorów: kg pomidorów malinowych w cenie złotych za kilogram oraz kg pomidorów cherry w cenie złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Równanie liniowe
Funkcja jest określona następująco:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji .
Oblicz wartość wyrażenia .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności .
Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba .Dla argumentu funkcja przyjmuje wartość .
Funkcja jest określona wzorem
g(x)=−12x−32\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x- \frac{3}{2} g(x)=−21x−23\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x- \frac{3}{2}
g(x)=−12x+32\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} g(x)=−21x+23\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}
g(x)=12x−32\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x- \frac{3}{2} g(x)=21x−23\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x- \frac{3}{2}
g(x)=12x+32\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} g(x)=21x+23\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}
Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej (lub brakujących współczynników)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem , gdzie oraz są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba .W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu jest osią symetrii wykresu funkcji .
f(x)=12(x−4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x-6) f(x)=21(x−4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x-6)
f(x)=12(x−4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x+6) f(x)=21(x−4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x+6)
f(x)=12(x+4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x-6) f(x)=21(x+4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x-6)
f(x)=12(x+4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x+6) f(x)=21(x+4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x+6)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik we wzorze funkcji jest liczbą dodatnią.
P
F
P,P
P,F
F,P
F,F
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej wzorem .
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
x=−2x=-2x=−2x=-2
x=1x=1x=1x=1
x=3x=3x=3x=3
x=4x=4x=4x=4
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Szósty wyraz ciągu jest równy
1111
Obliczanie wyrazu ciągu
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnica tego ciągu jest równa oraz .
(−12)\left(-12\right)(−12)\left(-12\right)
(−8)\left(-8\right)(−8)\left(-8\right)
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
0000
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg geometryczny , o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od , jest określony dla każdej liczby naturalnej . Wyrazy tego ciągu spełniają warunek .
Iloraz ciągu jest równy
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny.Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny.
Liczby oraz spełniają warunki
x<0x<0x<0x<0 i y<0y<0y<0y<0
x<0x<0x<0x<0 i y>0y>0y>0y>0
x>0x>0x>0x>0 i y<0y<0y<0y<0
x>0x>0x>0x>0 i y>0y>0y>0y>0
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
Kąt jest ostry oraz .
Tangens kąta jest równy
512\displaystyle \frac{5}{12} 125\displaystyle \frac{5}{12}
1213\displaystyle \frac{12}{13} 1312\displaystyle \frac{12}{13}
1312\displaystyle \frac{13}{12} 1213\displaystyle \frac{13}{12}
125\displaystyle \frac{12}{5} 512\displaystyle \frac{12}{5}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Wartości funkcji trygonometrycznych znanych kątów ostrych
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie i o promieniu . Punkt leży na odcinku . Kąt ma miarę , a kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
20∘20^\circ 20∘20^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
80∘80^\circ 80∘80^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Długość łuku , na którym jest oparty kąt wpisany , jest równa
8π8\pi8π8\pi
10π10\pi10π10\pi
13π13\pi13π13\pi
20π20\pi20π20\pi
Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów
Dany jest trójkąt , w którym , oraz (zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
12121212
12312\sqrt{3}12312\sqrt{3}
Trójkąt
Długość boku trójkąta jest równa
28\sqrt{28}28\sqrt{28}
40\sqrt{40}40\sqrt{40}
8888
76\sqrt{76}76\sqrt{76}
Twierdzenie Cosinusów
Dany jest trapez o podstawach i takich, że . Przekątne i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).
Pola trójkątów oraz są równe
Pole trójkąta jest dwa razy większe od pola trójkąta .
Podobieństwo trójkątów
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
3333
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o równaniu
Okrąg nie ma punktów wspólnych z osią układu współrzędnych.
Okrąg ma z osią układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.
Równanie okręgu
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Wysokość podstawy jest równa . Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią kąt o mierze (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Objętość walca o promieniu podstawy jest równa .
Wysokość tego walca jest równa
2π2\pi2π2\pi
4π4\pi4π4\pi
Walec
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od , w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
13131313
50505050
75757575
107107107107
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Oblicz dominantę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Dominanta (moda)
Oblicz średnią arytmetyczną liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Średnia arytmetyczna / ważona
Oblicz jaki procent liczby samochodów, w których podczas tych przeglądów wykryto dokładnie jedną usterkę stanowi liczba samochodów, w których wykryto co najmniej dwie usterki.
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
Hotel ma do dyspozycji gości pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
przy wyjściowej cenie wynoszącej ł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
każdy wzrost ceny za dobę hotelową o ł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o .
Przyjmijmy, że dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o złotych, opisuje funkcja
gdzie jest liczbą całkowitą spełniającą warunki i .
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
