Formuła 2023
Liczby i są różnymi rozwiązaniami równania . Suma jest równa
(−14)\left(-14\right)(−14)\left(-14\right)
(−8)\left(-8\right)(−8)\left(-8\right)
3333
8888
Równanie z wartością bezwzględną
Liczba jest równa
54\displaystyle 5^454\displaystyle 5^4
5−45^{-4}5−45^{-4}
50,255^{0{,}25}50,255^{0{,}25}
5−0,255^{-0{,}25}5−0,255^{-0{,}25}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Wykaż, że liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
log7(xy6)\displaystyle \log_{7}{\left( \frac{x}{y^6} \right)}log7(y6x)\displaystyle \log_{7}{\left( \frac{x}{y^6} \right)}
log7(xy)6\displaystyle \log_{7}{\left(xy\right)^6}log7(xy)6\displaystyle \log_{7}{\left(xy\right)^6}
log7(6xy)\displaystyle \log_{7}{\left(6xy\right)}log7(6xy)\displaystyle \log_{7}{\left(6xy\right)}
log7(xy6)\displaystyle \log_{7}{\left(xy^6\right)}log7(xy6)\displaystyle \log_{7}{\left(xy^6\right)}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).
Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe
6%6\%6%6\%
6,4%6{,}4\%6,4%6{,}4\%
6,5%6{,}5\%6,5%6{,}5\%
7%7\%7%7\%
Lokaty i kredyty (procent składany)
Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od oraz wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
xx−1\displaystyle \frac{x}{x-1} x−1x\displaystyle \frac{x}{x-1}
13x2−3x\displaystyle \frac{1}{3x^2-3x} 3x2−3x1\displaystyle \frac{1}{3x^2-3x}
−3x-3x−3x-3x
−13x\displaystyle - \frac{1}{3x} −3x1\displaystyle - \frac{1}{3x}
Wyrażenia wymierne
Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań
gdzie oraz są liczbami rzeczywistymi.
Wartość wyrażenia jest równa
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
(−0,5)\left(-0{,}5\right)(−0,5)\left(-0{,}5\right)
0,50 {,}50,50 {,}5
2222
Układy równań: liniowe z parametrem
Rozwiąż równanie
Równania wymierne
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Funkcja jest określona następująco:
Wykres funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej.
Wyznacz dziedzinę funkcji
Wyznacz zbiór wartości funkcji
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba , a punkt przecięcia wykresu funkcji z osią kartezjańskiego układu współrzędnych ma współrzędne (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji , jest równy .
P
F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych oraz wykresem funkcji jest równe .
Prosta przechodząca przez dwa punkty
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt . Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych . Funkcja jest malejąca w przedziale
(−∞,0](-\infty,0](−∞,0](-\infty,0]
(−∞,3](-\infty,3](−∞,3](-\infty,3]
[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)[0,+\infty)
[3,+∞)[3,+\infty)[3,+∞)[3,+\infty)
Monotoniczność funkcji kwadratowej
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt . Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych .
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Wzór funkcji może być zapisany w postaci
f(x)=−x2−9f(x)=-x^2-9f(x)=−x2−9f(x)=-x^2-9
f(x)=−(x−3)2f(x)=-(x-3)^2f(x)=−(x−3)2f(x)=-(x-3)^2
f(x)=−(x+3)2f(x)=-(x+3)^2f(x)=−(x+3)2f(x)=-(x+3)^2
f(x)=−x2+6x−9f(x)=-x^2+6x-9f(x)=−x2+6x−9f(x)=-x^2+6x-9
f(x)=−x2−6x+9f(x)=-x^2-6x+9f(x)=−x2−6x+9f(x)=-x^2-6x+9
f(x)=−x2−6x−9f(x)=-x^2-6x-9f(x)=−x2−6x−9f(x)=-x^2-6x-9
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Funkcja kwadratowa jest określona za pomocą funkcji następująco: .
Funkcja ma jedno miejsce zerowe.
W kartezjańskim układzie współrzędnych osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu .
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Funkcja logarytmiczna jest określona wzorem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej .
Wartość funkcji dla argumentu jest równa .
Funkcja jest rosnąca.
Funkcja logarytmiczna
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Ciąg jest geometryczny.
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu jest równa .
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy liczba jest równa
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
1111
4444
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Dany jest ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej , w którym oraz . Piąty wyraz ciągu jest równy
115\displaystyle \frac{1}{15} 151\displaystyle \frac{1}{15}
227\displaystyle \frac{2}{27} 272\displaystyle \frac{2}{27}
481\displaystyle \frac{4}{81} 814\displaystyle \frac{4}{81}
8243\displaystyle \frac{8}{243} 2438\displaystyle \frac{8}{243}
Definicja
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym i . Na przyprostokątnej leży taki punkt , że (zobacz rysunek).
Sinus kąta ostrego jest równy
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
78\displaystyle \frac{7}{8} 87\displaystyle \frac{7}{8}
154\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4} 415\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}
158\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8} 815\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Tangens kąta ostrego jest równy
15\sqrt{15}15\sqrt{15}
Kąt o mierze jest rozwarty oraz . Cosinus kąta o mierze jest równy
(−134)\displaystyle \left(- \frac{\sqrt{13}}{4} \right)(−413)\displaystyle \left(- \frac{\sqrt{13}}{4} \right)
(−12)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)
134\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{4} 413\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{4}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W trapezie prostokątnym dłuższa podstawa ma długość . Krótsza przekątna ma długość równą i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).
Oblicz pole trapezu .
Trapez prostokątny
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Miara kąta wpisanego jest równa (zobacz rysunek).
Długość łuku , na którym oparty jest kąt wpisany , jest równa
2π2\pi2π2\pi
4π4\pi4π4\pi
6π6\pi6π6\pi
12π12\pi12π12\pi
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty oraz są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu .
Długość boku kwadratu jest równa
5555
10101010
525\sqrt{2}525\sqrt{2}
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
Kwadrat w układzie współrzędnych
W kartezjańskim układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu . Prosta jest równoległa do prostej i przecina oś w punkcie . Punkt o współrzędnych należy do prostej .
57\displaystyle \frac{5}{7} 75\displaystyle \frac{5}{7}
7777
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są cztery okręgi: , o równaniach:
Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych , jest
o1o_1o1o_1
o2o_2o2o_2
o3o_3o3o_3
o4o_4o4o_4
Równanie okręgu
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości . Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem , że .
Wysokość tego ostrosłupa jest równa
6666
626\sqrt{2}626\sqrt{2}
12121212
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość .
Objętość tego prostopadłościanu jest równa
p3−3p2+2pp^3-3p^2+2pp3−3p2+2pp^3-3p^2+2p
p3+3p2+2pp^3+3p^2+2pp3+3p2+2pp^3+3p^2+2p
p3−6p2−8pp^3-6p^2-8pp3−6p2−8pp^3-6p^2-8p
p3−6p2+8pp^3-6p^2+8pp3−6p2+8pp^3-6p^2+8p
Prostopadłościan
Objętość stożka o wysokości jest równa . Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka
Stożek
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry (np. , ), jest
32323232
384384384384
512512512512
576576576576
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Dane są dwa zbiory: oraz . Losujemy jedną liczbę ze zbioru , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Do szkolnego koła czytelniczego należy uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.
Oblicz średnią arytmetyczną liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów.
Średnia arytmetyczna / ważona
Oblicz medianę liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów.
Mediana
Rozważamy wszystkie prostopadłościany , w których krawędź jest razy dłuższa od krawędzi , a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa (zobacz rysunek).
Niech oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości krawędzi .
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji . Oblicz długość krawędzi tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Optymalizacja w stereometrii
