Matura (czerwiec 2022, poziom rozszerzony, dodatkowy)

Wiadomo, że i . Wtedy liczba jest równa

Granica jest równa

Sumą wektorów oraz jest wektor . Wynika stąd, że

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach i jest równe . Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Wśród pracowników pewnej firmy jest kobiet i mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest kobiet i mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.

Wpisz pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , spełniona jest nierówność

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Rozwiąż nierówność

W trapezie o podstawach i przez punkt przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków i . Prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie , a prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie . Wykaż, że .

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej , którego iloraz 𝑞 jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek. Stosunek sumy wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. . Oblicz .

Rozwiąż równanie w przedziale .

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny wpisany w okrąg o środku i promieniu . Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia i miary kąta .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunek

Dane są okrąg o równaniu oraz okrąg o promieniu . Środki okręgów i leżą po różnych stronach prostej o równaniu , a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej . Wyznacz równanie okręgu .

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne (), na których opisano okrąg o promieniu . Niech oznacza odległość środka okręgu od podstawy trójkąta.

1. Wykaż, że pole każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości , wyraża się wzorem .

2. Wyznacz dziedzinę funkcji .

3. Oblicz długość odcinka tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.