Matura (czerwiec 2023, poziom podstawowy, dodatkowy, Formuła 2023)

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność jest

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej iloczyn jest równy

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej reszta z dzielenia liczby przez jest równa .

Klient wpłacił do banku na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba jest równa

Liczba jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od i wyrażenie jest równe

Rozwiąż nierówność

Rozwiąż równanie

Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

W kartezjańskim układzie współrzędnych wykresy funkcji liniowych oraz nie mają punktów wspólnych dla

W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu przechodzi przez punkty oraz .

Współczynnik w równaniu tej prostej jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji jest zbiór

W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór

W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności .

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem , gdzie oraz są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że i . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych .

Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku

Masa leku zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie:

• – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili dawki leku,

• – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek w dawce .

Oblicz, ile mg leku pozostanie w organizmie chorego po godzinach od momentu przyjęcia dawki.

Masa leku zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie:

• – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili dawki leku,

• – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu zażycia leku.

Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od jest równa

Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Liczba jest równa

Ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . W tym ciągu oraz .

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu jest równa

Dla każdego kąta ostrego wyrażenie jest równe

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary oraz . Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – oraz (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:

Odcinek jest średnicą okręgu o środku . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie . Prosta przecina ten okrąg w punktach i . Proste i przecinają się w punkcie , przy czym i (zobacz rysunek).

Odległość punktu od prostej jest równa

W trapezie o podstawach i przekątne przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Na łukach i okręgu są oparte kąty wpisane i , takie, że i (zobacz rysunek). Cięciwy i przecinają się w punkcie .

Miara kąta jest równa

Pole trójkąta równobocznego jest równe . Pole trójkąta równobocznego jest równe .

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali

Pole równoległoboku jest równe . Bok tego równoległoboku ma długość , a kąt równoległoboku ma miarę (zobacz rysunek).

Długość boku jest równa

Funkcja liniowa jest określona wzorem . Funkcja jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji przechodzi przez punkt i jest prostopadły do wykresu funkcji .

Wzorem funkcji jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty oraz są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu .

Pole kwadratu jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Punkt dzieli odcinek tak, że .

Punkt ma współrzędne

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku . Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku . Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny , w którym krawędź podstawy ma długość . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem (zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej jest

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od do – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby .

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .

Działka ma kształt trapezu. Podstawy i tego trapezu mają długości oraz . Wysokość trapezu jest równa , a jego kąty i są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie tego trapezu, a dwa pozostałe – oraz – na ramionach i trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu jest sumą pól trapezów oraz :