Formuła 2023
Liczba jest równa
56\sqrt[6]{5}65\sqrt[6]{5}
253\sqrt[3]{25}325\sqrt[3]{25}
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
53\sqrt[3]{5}35\sqrt[3]{5}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za ł oprocentowane w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.
Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa
40 000⋅(1,07)2 zł40\ 000 \cdot \left(1{,}07\right)^{2}\ \text{zł}40 000⋅(1,07)2 zł40\ 000 \cdot \left(1{,}07\right)^{2}\ \text{zł}
40 000⋅(1,7)2 zł40\ 000 \cdot \left(1{,}7\right)^{2}\ \text{zł}40 000⋅(1,7)2 zł40\ 000 \cdot \left(1{,}7\right)^{2}\ \text{zł}
40 000⋅1,14 zł40\ 000 \cdot 1{,}14\ \text{zł}40 000⋅1,14 zł40\ 000 \cdot 1{,}14\ \text{zł}
40 000⋅1,49 zł40\ 000 \cdot 1{,}49\ \text{zł}40 000⋅1,49 zł40\ 000 \cdot 1{,}49\ \text{zł}
Lokaty i kredyty (procent składany)
Właściciel sklepu kupił w hurtowni par identycznych spodni po ł za parę i identycznych marynarek po ł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił ł. Po doliczeniu marży na każdą parę spodni i na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.
Cenę pary spodni oraz cenę marynarki , jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań
{x+y=80000,5x=0,2y\displaystyle \begin{cases} x+y=8000\\ 0{,}5x=0{,}2y \end{cases}{x+y=80000,5x=0,2y\displaystyle \begin{cases} x+y=8000\\ 0{,}5x=0{,}2y \end{cases}
{50x+40y=80000,5x=0,2y\displaystyle \begin{cases} 50x+40y=8000\\ 0{,}5x=0{,}2y \end{cases}{50x+40y=80000,5x=0,2y\displaystyle \begin{cases} 50x+40y=8000\\ 0{,}5x=0{,}2y \end{cases}
{50x+40y=80001,5x=1,2y\displaystyle \begin{cases} 50x+40y=8000\\ 1{,}5x=1{,}2y \end{cases}{50x+40y=80001,5x=1,2y\displaystyle \begin{cases} 50x+40y=8000\\ 1{,}5x=1{,}2y \end{cases}
{x+y=80001,5x=1,2y\displaystyle \begin{cases} x+y=8000\\ 1{,}5x=1{,}2y \end{cases}{x+y=80001,5x=1,2y\displaystyle \begin{cases} x+y=8000\\ 1{,}5x=1{,}2y \end{cases}
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Liczby rzeczywiste i są dodatnie oraz .
Wyrażenie można przekształcić do postaci
2x−y\displaystyle \frac{2}{x-y} x−y2\displaystyle \frac{2}{x-y}
2x2−y2\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2} x2−y22\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}
2xx2−y2\displaystyle \frac{2x}{x^2-y^2} x2−y22x\displaystyle \frac{2x}{x^2-y^2}
−2xyx+y\displaystyle \frac{-2xy}{x+y} x+y−2xy\displaystyle \frac{-2xy}{x+y}
Wyrażenia wymierne
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest
9⋅8⋅7⋅69 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 69⋅8⋅7⋅69 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6
9⋅9⋅8⋅79 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 79⋅9⋅8⋅79 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7
10⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 710⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7
9⋅10⋅10⋅109 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 109⋅10⋅10⋅109 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Funkcja jest określona wzorem dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich .
Wartość funkcji dla argumentu jest równa
2222
(−12)\left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\left(- \frac{1}{2} \right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
(−2)\displaystyle \left(-2\right)(−2)\displaystyle \left(-2\right)
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , ma współrzędne . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych ma współrzędne .
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Dana jest nierówność kwadratowa
z niewiadomą i parametrem . Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział .
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
3333
Nierówność kwadratowa z parametrem
Dana jest funkcja kwadratowa , gdzie i są liczbami rzeczywistymi takimi, że oraz . Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Wykres funkcji leży w całości
A,1A,1A,1A,1
A,2A,2A,2A,2
A,3A,3A,3A,3
B,1B,1B,1B,1
B,2B,2B,2B,2
B,3B,3B,3B,3
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Dany jest układ równań
Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Dany jest wielomian określony wzorem dla każdej liczby rzeczywistej .
Wielomian przy rozkładzie na czynniki ma postać
W(x)=(x+2)(x2−3)W(x)=(x+2)(x^2-3)W(x)=(x+2)(x2−3)W(x)=(x+2)(x^2-3)
W(x)=(x−2)(x2−3)W(x)=(x-2)(x^2-3)W(x)=(x−2)(x2−3)W(x)=(x-2)(x^2-3)
W(x)=(x+2)(x2+3)W(x)=(x+2)(x^2+3)W(x)=(x+2)(x2+3)W(x)=(x+2)(x^2+3)
W(x)=(x−2)(x2+3)W(x)=(x-2)(x^2+3)W(x)=(x−2)(x2+3)W(x)=(x-2)(x^2+3)
Równość wielomianów i faktoryzacja
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
jedno rozwiązanie.
dwa rozwiązania.
trzy rozwiązania.
cztery rozwiązania.
Równania wymierne
Dana jest nierówność
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
6666
5555
7777
(−6)\left(-6\right)(−6)\left(-6\right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dany jest ciąg określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ciąg jest malejący.
P
F
Ósmy wyraz ciągu jest równy
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Pięciowyrazowy ciąg jest arytmetyczny.
Liczby oraz są równe
x=4x=4x=4x=4 oraz y=152\displaystyle y= \frac{15}{2} y=215\displaystyle y= \frac{15}{2}
x=152\displaystyle x= \frac{15}{2} x=215\displaystyle x= \frac{15}{2} oraz y=4y=4y=4y=4
x=−4x=-4x=−4x=-4 oraz y=152\displaystyle y=\frac{15}{2} y=215\displaystyle y=\frac{15}{2}
x=−152\displaystyle x=- \frac{15}{2} x=−215\displaystyle x=- \frac{15}{2} oraz y=4y=4y=4y=4
Definicja
Dany jest ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej . W tym ciągu , , .
Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Wzór ogólny ciągu ma postać
an=−5⋅(−3)n−1a_n=-5 \cdot \left(-3\right)^{n-1}an=−5⋅(−3)n−1a_n=-5 \cdot \left(-3\right)^{n-1}
an=−5⋅(−3)na_n=-5 \cdot \left(-3\right)^{n}an=−5⋅(−3)na_n=-5 \cdot \left(-3\right)^{n}
an=−5⋅3n−1a_n=-5 \cdot 3^{n-1}an=−5⋅3n−1a_n=-5 \cdot 3^{n-1}
an=−5⋅(−3)n3\displaystyle a_n=-5 \cdot \frac{\left(-3\right)^{n}}{3} an=−5⋅3(−3)n\displaystyle a_n=-5 \cdot \frac{\left(-3\right)^{n}}{3}
an=5⋅(−3)n3\displaystyle a_n=5 \cdot \frac{\left(-3\right)^n}{3} an=5⋅3(−3)n\displaystyle a_n=5 \cdot \frac{\left(-3\right)^n}{3}
an=5⋅(−3)n⋅3a_n=5 \cdot \left(-3\right)^n \cdot 3an=5⋅(−3)n⋅3a_n=5 \cdot \left(-3\right)^n \cdot 3
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Kąt jest ostry oraz .
Wartość wyrażenia jest równa
83\displaystyle \frac{8}{3} 38\displaystyle \frac{8}{3}
38\displaystyle \frac{3}{8} 83\displaystyle \frac{3}{8}
649\displaystyle \frac{64}{9} 964\displaystyle \frac{64}{9}
964\displaystyle \frac{9}{64} 649\displaystyle \frac{9}{64}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Punkty leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Ponadto oraz .
Miara kąta wewnętrznego trójkąta jest równa
60∘60^\circ 60∘60^\circ
55∘55^\circ 55∘55^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
65∘65^\circ 65∘65^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości . Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
Oblicz wymiary i kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
Dany jest kwadrat o boku długości . Z wierzchołka zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).
Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe
16π16\pi16π16\pi
8π8\pi8π8\pi
42π4\sqrt{2}\pi42π4\sqrt{2}\pi
162π16\sqrt{2}\pi162π16\sqrt{2}\pi
Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów
Odcinki i przecinają się w punkcie . Ponadto i . Kąty i są proste (zobacz rysunek).
Długość odcinka jest równa
9999
8888
2132\sqrt{13}2132\sqrt{13}
3133\sqrt{13}3133\sqrt{13}
Podobieństwo trójkątów
Przekątne równoległoboku mają długości: oraz . Wierzchołki oraz rombu leżą na bokach równoległoboku (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
Oblicz długość boku rombu .
Równoległobok
Dany jest trójkąt , w którym , , .
Oblicz pole trójkąta .
Trójkąt
Dany jest sześciokąt foremny o polu równym (zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
4444
Wielokąt foremny
Dany jest trapez , w którym oraz przekątne i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa . Obwód trójkąta jest równy , a obwód trójkąta jest równy .
Wysokość trójkąta poprowadzona z punktu jest równa
Trapez
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dany jest okrąg o równaniu
Okrąg przecina oś w punktach o współrzędnych
(0,1)\left(0,1\right)(0,1)\left(0,1\right) i (0,5)\left(0,5\right)(0,5)\left(0,5\right)
(0,1)\left(0,1\right)(0,1)\left(0,1\right) i (0,−5)\left(0,-5\right)(0,−5)\left(0,-5\right)
(1,0)\left(1,0\right)(1,0)\left(1,0\right) i (5,0)\left(5,0\right)(5,0)\left(5,0\right)
(0,−1)\left(0,-1\right)(0,−1)\left(0,-1\right) i (0,5)\left(0,5\right)(0,5)\left(0,5\right)
Równanie okręgu
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dane są proste oraz o równaniach
Proste oraz
nie mają punktów wspólnych.
są prostopadłe.
przecinają się w punkcie 𝑃=(0,−1)𝑃 = (0, −1)P=(0,−1)𝑃 = (0, −1).
się pokrywają.
Proste prostopadłe i równoległe
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dane są punkty i , gdzie jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta o równaniu .
Prosta przechodząca przez punkty i jest równoległa do prostej , gdy
m=−1m=-1m=−1m=-1
m=1m=1m=1m=1
m=12\displaystyle m= \frac{1}{2} m=21\displaystyle m= \frac{1}{2}
m=2m=2m=2m=2
Proste równoległe
Dany jest sześcian o krawędzi długości . Wierzchołki podstawy sześcianu połączono odcinkami z punktem , który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy . Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny (zobacz rysunek).
Objętość ostrosłupa jest równa
243243243243
364,5364{,}5364,5364{,}5
489489489489
729729729729
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Dany jest sześcian o krawędzi długości i objętości oraz sześcian o krawędzi długości .
Objętość sześcianu jest równa
3V3V3V3V
9V9V9V9V
18V18V18V18V
27V27V27V27V
Sześcian
Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy . Zakupiono jeden los z tej loterii.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe
19\displaystyle \frac{1}{9} 91\displaystyle \frac{1}{9}
29\displaystyle \frac{2}{9} 92\displaystyle \frac{2}{9}
27\displaystyle \frac{2}{7} 72\displaystyle \frac{2}{7}
Prawdopodobieństwo klasyczne
W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
w I donicy – nasiona
w II donicy – nasion
w III donicy – nasion
w IV donicy – nasion
w V donicy – nasion.
Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe .
Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej
Wariancja / odchylenie standardowe
