Granica funkcji

Ten typ obejmuje zadania, w których obliczamy — także — albo granicę w nieskończoności. Najczęściej po podstawieniu $x_0$x_0 otrzymujemy symbol nieoznaczony $\displaystyle \frac{0}{0}$\displaystyle \frac{0}{0}: licznik i mianownik zerują się w $x_0$x_0, więc z oba dzielą się przez dwumian $x-x_0$x-x_0. Rozkładamy je na czynniki, skracamy ten dwumian i dopiero wtedy podstawiamy $x_0$x_0:

Ta równość wynika z i zachodzi, gdy $v(x_0)\neq 0$v(x_0)\neq 0. Czynniki znajdujemy ze wzorów skróconego mnożenia, z miejsc zerowych trójmianu kwadratowego albo grupując wyrazy wielomianu.

W tym wariancie $x$x dąży do liczby $x_0$x_0, która zeruje licznik i mianownik ilorazu wielomianów. Rozkładamy oba wielomiany na czynniki, skracamy czynnik $x-x_0$x-x_0 i podstawiamy $x_0$x_0 do uproszczonego wyrażenia — jego mianownik nie zeruje się już w $x_0$x_0, więc granica jest liczbą.

W tym zadaniu licznik rozkładamy ze , a mianownik — trójmian kwadratowy — z jego miejsc zerowych.

Tutaj licznik i mianownik są trójmianami kwadratowymi o współczynnikach dziesiętnych. Jedno miejsce zerowe obu trójmianów znamy, a drugie najszybciej obliczamy ze — z iloczynu pierwiastków.

Tutaj licznik i mianownik są wielomianami wyższych stopni. Wiemy, że oba dzielą się przez $x-x_0$x-x_0, więc grupujemy wyrazy tak, by w każdej grupie pojawił się ten dwumian.

W tym wariancie obliczamy granicę jednostronną: zapis $x\to x_0^-$x\to x_0^- oznacza, że $x$x dąży do $x_0$x_0 przez liczby mniejsze od $x_0$x_0, a $x\to x_0^+$x\to x_0^+ — przez liczby większe. Upraszczamy wyrażenie jak w poprzednim wariancie, ale znak czynników w pobliżu $x_0$x_0 ustalamy dla liczb z właściwej strony — od niego zależy wynik.

W tym zadaniu po skróceniu mianownik nadal dąży do zera, a licznik nie, więc granica jest , a o jej znaku decyduje znak ilorazu dla liczb mniejszych od $x_0$x_0.

Tutaj w mianowniku jest kwadrat dwumianu, który w liczniku występuje tylko raz. Po skróceniu mianownik nadal dąży do zera i zmienia znak w $x_0$x_0, dlatego wynik zależy od strony, z której dąży $x$x.

Tutaj w liczniku jest wartość bezwzględna. Dla liczb mniejszych od $x_0$x_0 wyrażenie pod nią jest ujemne, więc opuszczamy ją ze zmianą znaku, a potem skracamy ułamek ze .

W tym wariancie obliczamy : $x$x dąży do $+\infty$+\infty albo $-\infty$-\infty. W liczniku i mianowniku wyłączamy przed nawias najwyższą potęgę $x$x i korzystamy z tego, że $\displaystyle \frac{1}{x^n}\to 0$\displaystyle \frac{1}{x^n}\to 0. Pod pierwiastkiem kwadratowym wyłączamy $x^2$x^2 i pamiętamy, że $\sqrt{x^2}=|x|$\sqrt{x^2}=|x| — dla $x<0$x<0 jest to $-x$-x.