Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej

Ten typ obejmuje zadania, w których wyznaczamy najmniejszą lub największą wartość określonej na zbiorze $\mathbb{R}$\mathbb{R} albo argument, w którym jest ona przyjmowana. Z wiemy, że funkcja kwadratowa osiąga w wierzchołku $W=(p,q)$W=(p,q), którego współrzędne daje :

Dla $a>0$a>0 liczba $q$q jest wartością najmniejszą funkcji, a dla $a<0$a<0 — największą. Przy ramionach skierowanych w górę funkcja nie ma wartości największej, a przy skierowanych w dół — najmniejszej. Zadania z wyznaczania wartości najmniejszej lub największej w przedziale domkniętym zostały zebrane w osobnym typie , a zadania optymalizacyjne — w typie .

W tym wariancie znamy wzór funkcji. Ze znaku $a$a ustalamy, czy funkcja ma wartość najmniejszą, czy największą, a potem obliczamy $q$q: z odczytujemy $q$q od razu, z postaci ogólnej obliczamy $q=f(p)$q=f(p) dla $\displaystyle p=-\frac{b}{2a}$\displaystyle p=-\frac{b}{2a}, a z obliczamy $p$p jako średnią miejsc zerowych ().

W tym zadaniu wzór w postaci ogólnej nie ma wyrazu wolnego, więc łatwo go rozłożyć na czynniki i obliczyć $p$p jako średnią miejsc zerowych.

Tutaj wzór jest w postaci iloczynowej, a o tym, czy funkcja ma wartość najmniejszą, czy największą, decyduje znak liczby stojącej przed nawiasami.

Tutaj funkcja opisuje wysokość piłeczki w zależności od czasu, a pytanie dotyczy chwili, w której piłeczka jest najwyżej — wystarczy więc pierwsza współrzędna wierzchołka.

W tym wariancie wzór nie jest dany w całości — najpierw wyznaczamy brakujący współczynnik. Gdy znamy miejsca zerowe, zapisujemy $a(x-x_1)(x-x_2)$a(x-x_1)(x-x_2), obliczamy $a$a z punktu wykresu, a potem wartość w wierzchołku. Zadania, w których celem jest sam wzór funkcji, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie wartość najmniejsza lub największa jest dana, a szukamy współczynników. Argument, w którym funkcja ją osiąga, to $p$p, a sama wartość to $q$q. Z zależności $\displaystyle p=-\frac{b}{2a}$\displaystyle p=-\frac{b}{2a} () obliczamy $b$b, a z warunku $f(p)=q$f(p)=q — wyraz wolny $c$c; można też od razu zapisać $a(x-p)^2+q$a(x-p)^2+q i ją wymnożyć.