Matura (maj 2025, poziom rozszerzony, Formuła 2023)

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie:

– liczebność populacji w chwili rozpoczęcia obserwacji,

– stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,

– czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa , a po dwóch godzinach była równa .

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej takich, że , prawdziwa jest nierówność

W trójkącie równobocznym punkt leży na boku . Stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy .

Wykaż, że miara kąta jest równa .

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.

Rozwiąż nierówność

Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu i .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

W trapezie o podstawach i punkt jest środkiem ramienia , a punkt jest środkiem ramienia trapezu. Stosunek pola trapezu do pola trapezu jest równy .

Wykaż, że .

W układzie współrzędnych dane są okręgi oraz o równaniach:

Te okręgi przecinają się w punktach oraz . Punkt ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt spełnia warunek .

Oblicz współrzędne punktów oraz .

Rozwiąż równanie

w przedziale .

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat . Krawędź boczna jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość . Cosinus kąta między ścianami bocznymi i tego ostrosłupa jest równy .

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Funkcja jest określona wzorem

dla każdej liczby rzeczywistej , gdzie jest liczbą rzeczywistą różną od .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz tego samego znaku, które spełniają warunek

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od , a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa .

Wykaż, że objętość stożka, jako funkcja wysokości stożka, wyraża się wzorem

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od , a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa .

Objętość stożka, jako funkcja wysokości stożka, wyraża się wzorem

dla .

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.