Formuła 2015
Suma wszystkich pierwiastków wielomianu jest równa
(−5)\left(-5\right)(−5)\left(-5\right)
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
3333
5555
Równania wielomianowe – postać ogólna
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, jest
(2,3)\left(2,3\right)(2,3)\left(2,3\right)
(−3,−2)\left(-3,-2\right)(−3,−2)\left(-3,-2\right)
(−∞,−2)∪(3,+∞)\left(-\infty,-2\right)\cup\left(3,+\infty\right)(−∞,−2)∪(3,+∞)\left(-\infty,-2\right)\cup\left(3,+\infty\right)
(−∞,−3)∪(−2,+∞)\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-2,+\infty\right)(−∞,−3)∪(−2,+∞)\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-2,+\infty\right)
Nierówność wymierna
Wartość wyrażenia jest równa
(−32)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)(−23)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)
(−32)\displaystyle \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)(−23)\displaystyle \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
Funkcje trygonometryczne nietypowych kątów
Granica jest równa
25\displaystyle \frac{2}{5} 52\displaystyle \frac{2}{5}
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
65\displaystyle \frac{6}{5} 56\displaystyle \frac{6}{5}
125\displaystyle \frac{12}{5} 512\displaystyle \frac{12}{5}
Granica funkcji
Sąsiednie boki równoległoboku mają długość i . Pole tego równoległoboku jest równe . Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
Zapisz cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Wielokąty foremne
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej takich, że , prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
W trójkącie równobocznym punkt leży na boku . Stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy .
Wykaż, że miara kąta jest równa .
Dowodzenie w planimetrii
Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Rozwiąż nierówność
Nierówności z wartością bezwzględną
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu i .
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
Szereg geometryczny
W układzie współrzędnych dane są okręgi oraz o równaniach:
Te okręgi przecinają się w punktach oraz . Punkt ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt spełnia warunek .
Oblicz współrzędne punktów oraz .
Dwa okręgi - wzajemne położenie i punkty wspólne
Rozwiąż równanie
w przedziale .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat . Krawędź boczna jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość . Cosinus kąta między ścianami bocznymi i tego ostrosłupa jest równy .
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Kąt dwuścienny
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej , gdzie jest liczbą rzeczywistą różną od .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz tego samego znaku, które spełniają warunek
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od , a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa .
Wykaż, że objętość stożka, jako funkcja wysokości stożka, wyraża się wzorem
Optymalizacja w stereometrii
Objętość stożka, jako funkcja wysokości stożka, wyraża się wzorem
dla .
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.
