(nowa formuła)
Wartość wyrażenia dla jest równa
1111
3333
1+231+2\sqrt{3}1+231+2\sqrt{3}
1−231-2\sqrt{3}1−231-2\sqrt{3}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Liczba jest równa
6706^{70}6706^{70}
6456^{45}6456^{45}
230⋅3202^{30} \cdot 3^{20}230⋅3202^{30} \cdot 3^{20}
210⋅3202^{10} \cdot 3^{20}210⋅3202^{10} \cdot 3^{20}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
23\displaystyle \frac{2}{3} 32\displaystyle \frac{2}{3}
2222
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
Definicja logarytmu
Cenę pewnego towaru obniżono o i otrzymano cenę . Aby przywrócić cenę , nową cenę należy podnieść o
25%25\%25%25\%
20%20\%20%20\%
15%15\%15%15\%
12%12\%12%12\%
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−53,+∞)\displaystyle \left(- \frac{5}{3},+\infty \right)(−35,+∞)\displaystyle \left(- \frac{5}{3},+\infty \right)
(−∞,53)\displaystyle \left(-\infty, \frac{5}{3} \right)(−∞,35)\displaystyle \left(-\infty, \frac{5}{3} \right)
(53,+∞)\displaystyle \left( \frac{5}{3},+\infty \right)(35,+∞)\displaystyle \left( \frac{5}{3},+\infty \right)
(−∞,−53)\displaystyle \left(-\infty,- \frac{5}{3} \right)(−∞,−35)\displaystyle \left(-\infty,- \frac{5}{3} \right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Suma wszystkich rozwiązań równania jest równa
0000
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt .
Współczynnik we wzorze funkcji jest równy
−2-2−2-2
−1-1−1-1
Wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej
Największa wartość funkcji w przedziale jest równa
−3-3−3-3
Wartość najmniejsza / największa w przedziale domkniętym
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji jest prosta o równaniu
x=1x=1x=1x=1
x=2x=2x=2x=2
y=1y=1y=1y=1
y=2y=2y=2y=2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=2x=2x=2x=2.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=0x=0x=0x=0.
ma dwa różne rozwiązania: x=1x =1x=1x =1 i x=2x =2x=2x =2.
Równanie kwadratowe - postać iloczynowa
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej określonej wzorem .
Współczynniki oraz we wzorze funkcji spełniają zależność
a+b>0a+b>0a+b>0a+b>0
a+b=0a+b=0a+b=0a+b=0
a⋅b>0a \cdot b>0a⋅b>0a \cdot b>0
a⋅b<0a \cdot b<0a⋅b<0a \cdot b<0
Znaczenie współczynników 𝑎 i 𝑏
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Liczba jest równa
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
17171717
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
Proste o równaniach oraz są równoległe. Wtedy
m=−54\displaystyle m=- \frac{5}{4} m=−45\displaystyle m=- \frac{5}{4}
m=23\displaystyle m= \frac{2}{3} m=32\displaystyle m= \frac{2}{3}
m=114\displaystyle m= \frac{11}{4} m=411\displaystyle m= \frac{11}{4}
m=103\displaystyle m= \frac{10}{3} m=310\displaystyle m= \frac{10}{3}
Proste równoległe
Ciąg jest określony wzorem dla . Różnica jest równa
44 44
20202020
36363636
18181818
Obliczanie wyrazu ciągu
W ciągu arytmetycznym , określonym dla , czwarty wyraz jest równy , a różnica tego ciągu jest równa . Suma jest równa
−42-42−42-42
−36-36−36-36
−18-18−18-18
6666
Definicja
Punkt należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem . Wynika stąd, że
b=2b=2b=2b=2
b=1b=1b=1b=1
b=−1b=-1b=−1b=-1
b=−2b=-2b=−2b=-2
Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej (lub brakujących współczynników)
Punkty leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt środkowy ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta jest równa
59∘59^\circ59∘59^\circ
48∘48^\circ48∘48^\circ
62∘62^\circ62∘62^\circ
31∘31^\circ31∘31^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Prosta przechodząca przez punkty i jest określona równaniem
y=−2x+4y=-2x+4y=−2x+4y=-2x+4
y=−2x−8y=-2x-8y=−2x−8y=-2x-8
y=2x+8y=2x+8y=2x+8y=2x+8
y=2x−4y=2x-4y=2x−4y=2x-4
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych i (zobacz rysunek).
Wyrażenie jest równe
2sinβ2\sin\beta2sinβ2\sin\beta
cosα\cos\alphacosα\cos\alpha
Wzory redukcyjne
Punkt jest obrazem punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka jest równa
2342\sqrt{34}2342\sqrt{34}
8888
34\sqrt{34}34\sqrt{34}
12121212
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: , w których cyfry się nie powtarzają?
10101010
15151515
25252525
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Pole prostokąta jest równe . Na bokach i wybrano – odpowiednio – punkty i , takie, że (zobacz rysunek).
Pole czworokąta jest równe
40404040
54545454
60606060
Równoległobok
Cztery liczby: , tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: . Zatem
a=7a=7a=7a=7
a=6a=6a=6a=6
a=5a=5a=5a=5
a=4a=4a=4a=4
Mediana
Przekątna sześcianu ma długość . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
96969696
24324\sqrt{3}24324\sqrt{3}
192192192192
16316\sqrt{3}16316\sqrt{3}
Sześcian
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa .
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
20 cm320\ \text{cm}^320 cm320\ \text{cm}^3
30 cm330\ \text{cm}^330 cm330\ \text{cm}^3
39 cm339\ \text{cm}^339 cm339\ \text{cm}^3
52,5 cm352{,}5\ \text{cm}^352,5 cm352{,}5\ \text{cm}^3
Stożek
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Rozwiąż równanie .
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Trójkąt jest równoboczny. Punkt leży na wysokości tego trójkąta oraz . Punkt leży na boku i odcinek jest prostopadły do (zobacz rysunek).
Wykaż, że .
Dowodzenie w planimetrii
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Kąt jest ostry i spełnia warunek
Oblicz tangens kąta .
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest kwadrat , w którym . Przekątna tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych i oraz pole kwadratu .
Kwadrat w układzie współrzędnych
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego , określonego dla , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek . Oblicz iloraz tego ciągu należący do przedziału .
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny , którego krawędź boczna ma długość (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
