Liczba jest równa
1log34\displaystyle \frac{1}{\log_34} log341\displaystyle \frac{1}{\log_34}
log34\log_34log34\log_34
1log32\displaystyle \frac{1}{\log_3\sqrt{2}} log321\displaystyle \frac{1}{\log_3\sqrt{2}}
log32\log_3\sqrt{2}log32\log_3\sqrt{2}
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest kul: białych i czarne, w drugiej jest kul: białych i czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe
218\displaystyle \frac{2}{18} 182\displaystyle \frac{2}{18}
1523\displaystyle \frac{15}{23} 2315\displaystyle \frac{15}{23}
823\displaystyle \frac{8}{23} 238\displaystyle \frac{8}{23}
518\displaystyle \frac{5}{18} 185\displaystyle \frac{5}{18}
Wzór Bayesa
Prosta dana równaniem jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji w punkcie
(−1,6)\left(-1,6\right)(−1,6)\left(-1,6\right)
(0,5)\left(0,5\right)(0,5)\left(0,5\right)
(1,5)\left(1,5\right)(1,5)\left(1,5\right)
(2,3)\left(2,3\right)(2,3)\left(2,3\right)
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym i ilorazie . Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym i ilorazie . Wynika stąd, że liczba jest równa
0000
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
23−1\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1} 3−12\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}
3333
Szereg geometryczny
Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa i żadna cyfra nie jest zerem.
Kombinatoryka - liczby o narzuconych cyfrach i/lub sumie/iloczynie cyfr.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej większej od i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .
Dowodzenie nierówności
Rozwiąż równanie:
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano kwadrat (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy .
Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa .
Dowodzenie w planimetrii
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu . Przekątna tego czworokąta ma długość . Kąty wewnętrzne i czworokąta są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Reszty z dzielenia wielomianu przez dwumiany i są odpowiednio równe oraz . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian .
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość , a wysokość graniastosłupa jest równa (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta .
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Czterowyrazowy ciąg jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu .
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: , , , , gdzie liczba rzeczywista spełnia warunki: i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pole tego równoległoboku jest równe .
Równoległobok w układzie współrzędnych
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem dla . Punkt ma współrzędne , a punkty i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków i , dla których pole trójkąta jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Optymalizacja w geometrii analitycznej
