(nowa formuła)
Rozwiązaniem równania nie jest liczba
−1-1−1-1
1111
3333
−3-3−3-3
Równania wymierne
Liczba jest równa
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
2222
−2-2−2-2
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
Definicja logarytmu
Jedną z liczb spełniających nierówność jest
−5-5−5-5
0000
5555
Nierówność wielomianowa - sprawdzanie czy liczba spełnia nierówność
Liczba dodatnia jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o , a jego mianownik zwiększymy o , to otrzymamy liczbę taką, że
b=14a\displaystyle b= \frac{1}{4}a b=41a\displaystyle b= \frac{1}{4}a
b=13a\displaystyle b= \frac{1}{3}a b=31a\displaystyle b= \frac{1}{3}a
b=12a\displaystyle b= \frac{1}{2}a b=21a\displaystyle b= \frac{1}{2}a
b=23a\displaystyle b= \frac{2}{3}a b=32a\displaystyle b= \frac{2}{3}a
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe . Stąd wynika, że
a=−413\displaystyle a=- \frac{41}{3} a=−341\displaystyle a=- \frac{41}{3}
a=413\displaystyle a= \frac{41}{3} a=341\displaystyle a= \frac{41}{3}
a=−473\displaystyle a=- \frac{47}{3} a=−347\displaystyle a=- \frac{47}{3}
a=473\displaystyle a= \frac{47}{3} a=347\displaystyle a= \frac{47}{3}
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej wzorem . Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby spełniającej warunek
m>15\displaystyle m> \frac{1}{\sqrt{5}} m>51\displaystyle m> \frac{1}{\sqrt{5}}
m>1−5m>1-\sqrt{5}m>1−5m>1-\sqrt{5}
m<5−1m<\sqrt{5}-1m<5−1m<\sqrt{5}-1
m<15\displaystyle m< \frac{1}{\sqrt{5}} m<51\displaystyle m< \frac{1}{\sqrt{5}}
Monotoniczność funkcji liniowej
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
m=−1m=-1m=−1m=-1
m=1m=1m=1m=1
m=12\displaystyle m= \frac{1}{2} m=21\displaystyle m= \frac{1}{2}
m=−12\displaystyle m=- \frac{1}{2} m=−21\displaystyle m=- \frac{1}{2}
Układy równań: liniowe z parametrem
Rysunek przedstawia wykres funkcji zbudowany z odcinków, przy czym punkty i należą do wykresu funkcji.
Równanie ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
dokładnie dwa rozwiązania.
dokładnie trzy rozwiązania.
nieskończenie wiele rozwiązań.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny , określony dla liczb naturalnych , o wyrazach dodatnich. Jeśli , to jest równe
8888
7777
6666
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W ciągu określonym dla każdej liczby jest spełniony warunek . Wtedy
a5=−54a_5=-54a5=−54a_5=-54
a5=−27a_5=-27a5=−27a_5=-27
a5=27a_5=27a5=27a_5=27
a5=54a_5=54a5=54a_5=54
Obliczanie wyrazu ciągu
Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest po uproszczeniu równe
5x2−12x−55x^2-12x-55x2−12x−55x^2-12x-5
5x2−135x^2-135x2−135x^2-13
5x2−12x+135x^2-12x+135x2−12x+135x^2-12x+13
5x2+55x^2+55x2+55x^2+5
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Kąt oraz wiadomo, że . Wartość wyrażenia jest równa
154\displaystyle \frac{15}{4} 415\displaystyle \frac{15}{4}
94\displaystyle \frac{9}{4} 49\displaystyle \frac{9}{4}
278\displaystyle \frac{27}{8} 827\displaystyle \frac{27}{8}
218\displaystyle \frac{21}{8} 821\displaystyle \frac{21}{8}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Wartość wyrażenia jest równa
4444
Wzory redukcyjne
Punkty i leżą na okręgu o środku i promieniu . Punkt jest punktem wspólnym prostych i , a odcinki i są równej długości. Miara kąta jest równa (zobacz rysunek). Wtedy
α=12∘\alpha=12^\circ α=12∘\alpha=12^\circ
α=17∘\alpha=17^\circ α=17∘\alpha=17^\circ
α=22∘\alpha=22^\circ α=22∘\alpha=22^\circ
α=34∘\alpha=34^\circ α=34∘\alpha=34^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Pole trójkąta o wierzchołkach , , jest równe
10101010
15151515
20202020
Wzór na pole trójkąta
Na okręgu o środku w punkcie wybrano trzy punkty tak, że , . Cięciwa przecina promień (zobacz rysunek). Wtedy miara jest równa
α=25∘\alpha=25^\circ α=25∘\alpha=25^\circ
α=60∘\alpha=60^\circ α=60∘\alpha=60^\circ
α=70∘\alpha=70^\circ α=70∘\alpha=70^\circ
α=85∘\alpha=85^\circ α=85∘\alpha=85^\circ
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek o końcach w punktach , . Punkt leży wewnątrz odcinka oraz . Wówczas
S=(8,6)S=\left(8,6\right)S=(8,6)S=\left(8,6\right)
S=(9,8)S=\left(9,8\right)S=(9,8)S=\left(9,8\right)
S=(10,10)S=\left(10,10\right)S=(10,10)S=\left(10,10\right)
S=(13,16)S=\left(13,16\right)S=(13,16)S=\left(13,16\right)
Długość odcinka i środek odcinka
Suma odległości punktu od prostych o równaniach i jest równa
14141414
12121212
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa . Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
48 cm248\ \text{cm}^248 cm248\ \text{cm}^2
64 cm264\ \text{cm}^264 cm264\ \text{cm}^2
384 cm2384\ \text{cm}^2384 cm2384\ \text{cm}^2
512 cm2512\ \text{cm}^2512 cm2512\ \text{cm}^2
Sześcian
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym . Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę . Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka przecina bok tego trójkąta w punkcie . Kąt ma miarę
78∘78^\circ 78∘78^\circ
34∘34^\circ 34∘34^\circ
68∘68^\circ 68∘68^\circ
102∘102^\circ 102∘102^\circ
Kąty w wielokątach
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez jest
60606060
45454545
30303030
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości . Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy i ma długość (zobacz rysunek).
Pole ściany tego ostrosłupa jest równe
16161616
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Dany jest sześcian . Przekątne i ściany sześcianu przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek tworzy z płaszczyzną , jest równy
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
2\sqrt{2}2\sqrt{2}
Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości . Objętość tego walca jest zatem równa
36π236\pi\sqrt{2}36π236\pi\sqrt{2}
108π2108\pi\sqrt{2}108π2108\pi\sqrt{2}
54π54\pi54π54\pi
108π108\pi108π108\pi
Walec
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez jest równe
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
27\displaystyle \frac{2}{7} 72\displaystyle \frac{2}{7}
619\displaystyle \frac{6}{19} 196\displaystyle \frac{6}{19}
310\displaystyle \frac{3}{10} 103\displaystyle \frac{3}{10}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , które spełniają warunek: .
Dany jest trójkąt . Punkt jest środkiem boku tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów i od prostej są równe.
Dowodzenie w planimetrii
Wykaż, że dla każdej liczby i dla każdej liczby prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
W ciągu geometrycznym przez oznaczamy sumę początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych . Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: i . Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu równym , a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy przecinają się w punkcie . Odcinek jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Liczby rzeczywiste i spełniają warunek . Wyznacz takie wartości i , dla których wyrażenie przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
Dany jest trójkąt rozwartokątny , w którym ma miarę . Ponadto wiadomo, że i (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta .
Trójkąt
