Formuła 2023
Liczba jest równa
16161616
18181818
30303030
34343434
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
31313131
5125^{12}5125^{12}
5275^{27}5275^{27}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
3333
9999
log3104\log_3104log3104\log_3104
2log3542\log_3542log3542\log_354
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
5x2−55x^2-55x2−55x^2-5
5x2+135x^2+135x2+135x^2+13
5x2+24x−55x^2+24x-55x2+24x−55x^2+24x-5
5x2+24x−135x^2+24x-135x2+24x−135x^2+24x-13
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dana jest nierówność
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
dwa rozwiązania: (−3)(−3)(−3)(−3) oraz 0000.
dwa rozwiązania: (−3)(−3)(−3)(−3) oraz 2222.
trzy rozwiązania: (−5),(−3)(−5), (−3)(−5),(−3)(−5), (−3) oraz 0000.
cztery rozwiązania: (−5),(−3),0(−5), (−3), 0(−5),(−3),0(−5), (−3), 0 oraz 5555
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od oraz różnej od wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
x+24x+4\displaystyle \frac{x+2}{4x+4} 4x+4x+2\displaystyle \frac{x+2}{4x+4}
x+14x+5\displaystyle \frac{x+1}{4x+5} 4x+5x+1\displaystyle \frac{x+1}{4x+5}
x+1x+2\displaystyle \frac{x+1}{x+2} x+2x+1\displaystyle \frac{x+1}{x+2}
2xx+2\displaystyle \frac{2x}{x+2} x+22x\displaystyle \frac{2x}{x+2}
Wyrażenia wymierne
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: i . W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie złotych – zespół wykorzystał przyznanych mu środków, a zespół wykorzystał przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi na realizację projektu badawczego.
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Funkcja jest określona następująco:
Wykres funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej.
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań równania .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne . Ta parabola przecina oś w punkcie o współrzędnych .
Wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
x=3x=3x=3x=3
x=−3x=-3x=−3x=-3
y=6y=6y=6y=6
y=−6y=-6y=−6y=-6
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej wzorem . Liczby oraz są różnymi miejscami zerowymi funkcji .
Oblicz sumę .
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Funkcja liniowa jest określona wzorem .
Funkcja nie ma miejsca zerowego dla równego
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
0000
4444
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Ciąg jest określony następująco:
dla każdej liczby naturalnej .
Trzeci wyraz ciągu jest równy
5555
7777
11111111
Ciągi rekurencyjne
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ciąg jest arytmetyczny.
P
F
Ciąg jest geometryczny.
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Wyznacz wartość , dla której trzywyrazowy ciąg
jest arytmetyczny i malejący.
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Dany jest ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej , w którym oraz .
Czwarty wyraz ciągu jest równy
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
1111
729729729729
Definicja
Kąt jest ostry i spełnia warunek .
Cosinus kąta jest równy
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym bok jest przeciwprostokątną, przyprostokątna ma długość , a środkowa ma długość . Oznaczmy kąt przez , natomiast kąt – przez (zobacz rysunek).
Tangens kąta jest równy
23\displaystyle \frac{2}{3} 32\displaystyle \frac{2}{3}
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
43\displaystyle \frac{4}{3} 34\displaystyle \frac{4}{3}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Sinus kąta jest równy
213\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}} 132\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}
313\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}} 133\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}
5213\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{13}} 2135\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{13}}
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Miara kąta jest równa (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
20∘20^\circ 20∘20^\circ
35∘35^\circ 35∘35^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W trójkącie równoramiennym dane są: i . Na boku , między punktami i , wybrano taki punkt , że trójkąty i są podobne (zobacz rysunek).
Odcinek ma długość
2222
2,252{,}252,252{,}25
2,52{,}52,52{,}5
Podobieństwo trójkątów
Dany jest trójkąt , w którym , oraz (zobacz rysunek).
Trójkąt jest równoramienny
Pole trójkąta jest równe .
Trójkąt
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest kwadrat , w którym . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie .
Przekątna kwadratu ma długość
10101010
14141414
Kwadrat w układzie współrzędnych
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt leży na okręgu o środku w punkcie .
Okrąg jest określony równaniem
(x−2)2+(y−4)2=25\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=2\sqrt{5}(x−2)2+(y−4)2=25\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=2\sqrt{5}
(x−2)2+(y−4)2=20\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=20(x−2)2+(y−4)2=20\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=20
(x+2)2+(y+4)2=25\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2=2\sqrt{5}(x+2)2+(y+4)2=25\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2=2\sqrt{5}
(x+2)2+(y+4)2=20\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2=20(x+2)2+(y+4)2=20\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2=20
Równanie okręgu
Tworząca stożka ma długość . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę .
Oblicz objętość tego stożka.
Stożek
Objętość sześcianu jest równa . Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
939\sqrt{3}939\sqrt{3}
929\sqrt{2}929\sqrt{2}
333\sqrt{3}333\sqrt{3}
323\sqrt{2}323\sqrt{2}
Sześcian
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra , jest
45454545
50505050
54545454
81818181
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa .
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe
136\displaystyle \frac{1}{36} 361\displaystyle \frac{1}{36}
636\displaystyle \frac{6}{36} 366\displaystyle \frac{6}{36}
1136\displaystyle \frac{11}{36} 3611\displaystyle \frac{11}{36}
236\displaystyle \frac{2}{36} 362\displaystyle \frac{2}{36}
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: , jest równa .
Suma jest równa
6666
Średnia arytmetyczna / ważona
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Oblicz medianę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy.
Mediana
Oblicz dominantę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy.
Dominanta (moda)
Rozważamy wszystkie prostopadłościany , w których krawędź ma długość oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka jest równa (zobacz rysunek).
Niech oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości krawędzi .
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji . Oblicz długość krawędzi tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Optymalizacja w stereometrii
