Formuła 2015
Liczba jest równa
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Dana jest nierówność
Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Suma wszystkich rozwiązań równania jest równa
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Na rysunku, w układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, jest przedział
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość, jest przedział
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
W układzie współrzędnych osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Wzorem funkcji zapisanym w postaci ogólnej jest
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Trzeci wyraz ciągu jest równy
Obliczanie wyrazu ciągu
Ciąg jest
arytmetyczny i różnica tego ciągu jest równa 12\dfrac{1}{2}21\dfrac{1}{2}.
arytmetyczny i różnica tego ciągu jest równa 2222.
geometryczny i iloraz tego ciągu jest równy 12\dfrac{1}{2}21\dfrac{1}{2}.
geometryczny i iloraz tego ciągu jest równy 2222.
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Trzywyrazowy ciąg , o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny. Iloraz tego ciągu jest równy
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Kąt jest ostry i spełnia warunek . Tangens kąta jest równy
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Cztery różne punkty: , , oraz , leżą na okręgu o środku w punkcie . Odcinek jest średnicą tego okręgu. Cięciwa przecina tę średnicę. Oznaczmy przez miarę kąta wpisanego , natomiast przez – miarę kąta wpisanego (zobacz rysunek).
Suma jest równa
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W prostokątnym trójkącie równoramiennym przeciwprostokątna ma długość . Obwód tego trójkąta jest równy
Trójkąt prostokątny
Trójkąt o bokach długości , i jest podobny do trójkąta o obwodzie . Najkrótszy bok trójkąta ma długość
Podobieństwo trójkątów
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o środku w punkcie . Odcinek , gdzie i , jest średnicą okręgu .
Współrzędna punktu jest równa
Długość odcinka i środek odcinka
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty , oraz są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Bok tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Tangens kąta ostrego jest równy
Kąt nachylenia prostej do osi OXOXOXOX
Dane są proste i o równaniach
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
Proste równoległe
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą . Objętość tego graniastosłupa jest równa
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Tworząca stożka ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Wysokość tego stożka jest równa
Stożek
W pewnym ostrosłupie liczba wszystkich krawędzi jest o większa od liczby wszystkich wierzchołków. Podstawą tego ostrosłupa jest
sześciokąt.
ośmiokąt.
dziewięciokąt.
dziesięciokąt.
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
W pewnym sklepie czekolada kosztuje złotych, a baton kosztuje złotych. Piotr kupił w tym sklepie czekolad oraz batony i zapłacił za te zakupy złote. Natalia kupiła w tym sklepie czekolady oraz batonów i zapłaciła za te zakupy złotych.
Oblicz cenę czekolady .
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą. W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji przecina oś w punkcie o współrzędnych .
Oblicz .
Równanie prostej - zadania z parametrem
Wśród osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie: Ile godzin snu potrzebujesz, aby być wypoczętym? Każdy z ankietowanych zaznaczył dokładnie jedną odpowiedź. Wyniki ankiety przedstawiono w poniższej tabeli.
Deklarowana liczba godzin snu
Liczba osób, które zadeklarowały daną liczbę godzin snu
Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę deklarowanej liczby godzin snu przez ankietowanych.
Mediana
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą większą od . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .
Prawdopodobieństwo klasyczne
W trapezie równoramiennym przekątna ma długość i tworzy z dłuższą podstawą taki kąt ostry , że . Różnica długości podstaw i tego trapezu jest równa .
Oblicz długość ramienia tego trapezu.
Trapez równoramienny
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe i jest razy większe od pola jego podstawy.
Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa . Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa .
Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu .
Oblicz liczbę , dla której .
Suma ciągu arytmetycznego
