Matura 2026 czerwiec — poziom rozszerzony — Formuła 2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Funkcja ma dokładnie

Wartość wyrażenia dla oraz jest równa

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Największa wartość funkcji jest równa

Oblicz granicę

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra ,

• cyfra występuje w kodzie dokładnie trzy razy,

• cyfra występuje w kodzie dokładnie dwa razy,

• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz wszystkie wartości , dla których pochodna funkcji w punkcie jest równa .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

Odcinek jest wysokością trójkąta równoramiennego , w którym .

Prosta jest prostopadła do boku i przecina ten bok w punkcie . Ta prosta przecina wysokość w punkcie oraz przecina bok w punkcie różnym od .

Wykaż, że .

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: .

Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie , oraz do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy .

Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:

• stanowi liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni;

• stanowi liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni;

• stanowi liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni , jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o , a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o , to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz , oraz .

Pole czworokąta wpisanego w okrąg jest równe .

Boki i są prostopadłe, a ponadto oraz .

Oblicz obwód tego czworokąta.

Rozwiąż równanie

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz spełniające warunek

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ma objętość równą .

Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną , która:

• jest prostopadła do ściany bocznej ostrosłupa;

• przechodzi przez środek krawędzi oraz środek krawędzi ;

• przecina krawędź boczną w punkcie oraz krawędź boczną w punkcie ;

• tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze .

Przekrój wyznaczony przez płaszczyznę jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu .

W kartezjańskim układzie współrzędnych rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne , w których , wierzchołek leży na dodatniej półosi , wierzchołek leży na dodatniej półosi , natomiast bok jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt .

Wykaż, że pole trójkąta w zależności od współczynnika kierunkowego prostej jest określone wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne , w których , wierzchołek leży na dodatniej półosi , wierzchołek leży na dodatniej półosi , natomiast bok jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt .

Pole trójkąta w zależności od współczynnika kierunkowego prostej jest określone wzorem

dla .

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.